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Exemple de matrice symétrique définie positive

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Thursday, 20 December 2018

Pour toute matrice A, la matrice A * A est positive semi-définie et le rang (A) = rang (A * A). La manipulation donne maintenant MX = NXΛ où X est une matrice ayant comme colonnes les vecteurs propres généralisés et Λ est une matrice diagonale des valeurs propres généralisées. Ici z T {displaystyle z ^ {textsf {T}}} désigne la transposition de z {displaystyle z}. Par conséquent, $A $ est une matrice positive définie. La matrice hermitienne qui n`est ni semi-définie positive ni semidéfinie négative est appelée indéfinie. Des déclarations similaires peuvent être faites pour les matrices négatives définies et semi-définies. Toutefois, la dernière condition à elle seule n`est pas suffisante pour que M soit positif défini. Avant de faire cela cependant, nous devrons être en mesure d`analyser si un carré $n times n $ matrice symétrique est positive définie, négative définie, indéterminée, ou positive/négative semidéfinie. CN (ou, tous les x en RN pour la matrice réelle). En appliquant la condition de positivité, il suit immédiatement que A et D sont hermitien, et C = B *. La matrice hermitienne est négative définie, négative semi-définie, ou positive semi-définie si et seulement si toutes ses valeurs propres sont négatives, non positives, ou non négatives, respectivement. Matrice de Gram d`un ensemble de vecteurs.

Si z * MZ est réel, alors z * BZ doit être zéro pour tous les z. La notion provient d`une analyse fonctionnelle où des matrices semi-définies positives définissent des opérateurs positifs. Etude de la théorie matricielle et des inégalités matricielles. La matrice hermitienne est positive semidéfinie si et seulement si tous ses principaux mineurs sont non-egatifs. On peut également définir une commande partielle stricte M > N. Plus généralement, une fonction réelle à deux fois différable f sur n variables réelles a le minimum local aux arguments Z1,…, Zn si son gradient est zéro et son Hessian (la matrice de tous les deuxièmes dérivés) est positif semi-défini à ce point. Inversement, toute matrice semi-définie positive hermitienne M peut être écrite comme M = LL *, où L est triangulaire inférieure; C`est la décomposition Cholesky. Certains auteurs utilisent des définitions plus générales de «positif défini», y compris des matrices réelles non symétriques, ou des complexes non hermitien. Les nombres de matrices définies positives de types donnés sont résumés dans le tableau suivant. Nous avons que z * MZ ≥ 0 pour tous les complexes z, et en particulier pour z = (v, 0) T.

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